Matriks

PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom  dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. Sebuah matriks terdiri dari baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matrik adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal) dalam matrik.

NOTASI MATRIKS

Cara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huruf besar, A, B, C dan sebagainya.Pada umumnya a_ij akan menyatakan entri matriks A yang berada pada barisi dan kolom j. Jadi jika A adalah matriks m x n , maka:

                                       a₁₁     a₁₂        …  a_1n                         

                                       a₂₁     a₂₂        …  a_2n             

                                      a_m1     a_m2       …  a_mn

Jka matriks A, maka entrinya a_ij , matriks B entrinya b_ij , dan C = c_ij , dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di sebut vektor. Jika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 x n disebut Vektor baris, dan matriks n x 1 disebut vektor kolom.

Contoh:

            Penyelesaian persamaan linier

            X₁     +    X₂    =    3

            X₁     -     X₂    =    1

            Vektor baris    =  ( 2    1 )

Vektor kolom  =          2

                                                1

Biasanya persamaan-persamaan dalam matriks digunakan vektor kolom ( n x 1), maka notasi baku vektor kolom adalah huruf kecil:

                              x₁

 x       =      x₂

                              x₃

Diberikan suatu matriks A berordo mx n, vektor baris ke-I dari A dinyatakan oleh a (1,: ) dan vektor kolom ke j dinyatakan oleh a ( :, j).

Bila A suatu matriks m x n , vektor baris A diberikan oleh a ( 1,: ) = (a_i1, a_i2, . . . ain ) i = 1, 2, 3, . . . , n , vektor kolom a ( :, j ) adalah sama dengan :

                                                    a_1j

                                                    a_2j

                                                    a_mj                            

 sehingga matriks A dinyatakan oleh vektor baris / kolom

A = ( a₁, a₂, . . . ., a_n ) atau :          a ( 1, . . . )

                                                      a ( 2, . . . )

                                                      a ( m, . . . )

Agar dua matriks menjadi sama, maka kedua matriks harus mempunyai ordo yang sama dan entri-entri yang seletak sama.

Definisi:

Dua matriks A dan B berordo masing-masing berordo m x n dikatakan sama, jika aij = bij untuk setiap I dan j. 

PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua  matriks dengan ordo yang sama dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan entri-entri yang seletak.

Definisi:

Jika A = aij dan B = bij kedua-duanya adalah matriks m x n . maka jumlah A + B aadalah a_ij + b_ij untuk setiap pasang ( i, j ).

Contoh:

1.         3      2          1                      2          2          2                      5      4      3     

            4      5          6          +          1          2          3          =          5      7      9

PERKALIAN MATRIKS

Lebih umum perkalian matriks A dan B jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.

Definisi:

Jika a = a_ij adalah matriks m x n dan B = bij matriks n x r, maka hasil kali AB = C =c_ij adalah matriks m x n yang entrinya di definisikan oleh:

Cij   = a ( i , : )  b _ij =

 Contoh:

1. Buktikan bahwa  AB ¹ BA

                         3         -2                                

            B =       2          4                     A =       -2        1          3         

 1         -3                                   4        1          6         

2. Buktikan bahwa  XY ¹ YX

Y =      1            1                                X=       1          1

            0            0                                            2          2

3. Berat badan Bob adalah  178 pound. Dia ingin mengurangi berat badan melalui diet dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik pada tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana ini.

Tabel.1.

Kalori yang terbakar tiap jam

Aktifitas latihan                                                    Berat badan dalam pound

                                                                                     152      161     178

Jalan kaki = 2 mil/jam                                                 213      225      249

Lari 5,5 mil/jam                                                           651      688      764

Sepeda 5,5 mil/jam                                                      304      321      356

Tenis secukupnya                                                        420      441      492

Tabel.2.

Jumlah jam/hari untuk setiap aktifitas jadwal latihan

                                                            Jadwal Latihan

                                    Jalan       Lari       Sepeda        Tenis

Senin                             1             0                1               0

Selasa                            0             0                0               2

Rabu                            0,4           0,5              0               0  

Kamis                            0             0               0,5             2

Jumat                           0,4           0,5               0              0

4. Sebuah perusahaan menghasilkan 3 buah produk: Biaya produksi dibagi ke dalam 3 kategori, dan setiap kategori diberikan taksiran untuk biaya produksi barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah masing-masing produk yang akan dihasilkan setiap kuartal.Taksiran tersebut disajikan dalam tabel 1 dan tabel 2.

Perusahaan ingin menyajikan pada rapat pemegang saham (tabel menunjukkan biaya total setiap kuartal dari masing-masing pada 3 buah kategori yaitu bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya overhead)

Tabel.1.

                                Biaya produksi per barang ( $ )

                                                                                Produk

Biaya                              A             B             C

Bahan mentah                                     0,1                   0,3                   0,15

Tenaga kerja                                       0,3                   0,4                   0,25

Biaya overhead                                   0,1                   0,2                   0,15

Tabel.2.

                                                       Jumlah yang dihasilkan per kuartal

                                                                                            Musim

Produk                                                Panas               Gugur              Dingin            Semi

A                                             4000                4500                4500                4000

B                                             2000                2400                2400                2200

C                                             5800                6200                6000                6000

TRANSPOSE  MATRIKS

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka transpose dari A dinotasikan sebagai A^T. Yaitu suatu matriks n x m yang dihasilkan dari saling menukarkan antara baris dan kolom matriks A. Dalam hal ini kolom pertama dari matriks A^T adalah baris pertama dari matriks A, kolom kedua matriks A^T adalah baris kedua matriks A dan seterusnya.

Contoh:

                   2         3                                        2          1          5

    A =         1         4                A^T   =              3          4          6

                   5         6

Ada  3 macam jenis matriks transpose :

1.            Matriks simetris

2.            Matriks miring (skew)

3.            Matriks miring simetris (skew symetris ) 

Syarat utama pada ketiga jenis matriks ini adalah bujur sangkar (ordo sama).

1.      Matriks Simetris

Matriks elemen aij pada baris ke-I dan kolom ke-j sama dengan elemen aji pada baris ke j dan kolom ke i.Hubungan antara elemen tersebut berarti bahwa transpose dari sebuah matriks adalah sama dengan matriks asal, maka matriks simetris adalah:

A    = A^T jika A adalah matriks simetri

Contoh:

1          2          3                                              1          2          3

A=       2          4          5                           A^T    =        2          4          5

            3          5          6                                              3          5          6         

2.            Matriks Skew (miring )

Matriks yang antara elemen-elemen yang tidak terletak pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif. Artinya aij = - aji dan elemen diaginal utamanya boleh terdiri atas sembarang bilangan asalakan tidak nol semuanya (aii ¹0)

Contoh:

 1          2          3                     

-2         4          -5

-3         5          6           

3.            Matriks Skew Simetris

Jika semua elemen diagonalnya adalah nol semuanya dan transpose dari matriks ini sama dengan matriks asala dengan tanda negatif.

Matriks skew simetris mempunyai syarat :

            A         = - A^T

            Aij       = -a_ji dan a_ii = 0

Contoh:

                        0          2          3                                          0      -2        -3

    A     =         -2         0          -5                      -A^T  =         2       0         5

                       -3         5           0                                          3       -5         0